Math mandag: Linkages, Del 8: På udkig efter straightness - 💡 Fix My Ideas

Math mandag: Linkages, Del 8: På udkig efter straightness

Math mandag: Linkages, Del 8: På udkig efter straightness


Forfatter: Ethan Holmes, 2019

Til matematikmuseet

Math Monday fortsætter sit multi-week eventyr i den vidunderlige verden af ​​forbindelser. Se introduktion til Linkages-serien til MoMath Linkage Kit, en introduktion og generelle instruktioner.

I den anden søjle i denne serie oplevede vi den utrolige kompleksitet, som en simpel 4-bar-kobling kan skabe: Den vil generelt tegne en sti beskrevet af et sjette grads polynom i x og y. Men hvad med enklere funktioner, måske meget enklere? Kan en kobling tegne en lineær sti i x og y? Det ser ud til at stå til grund, i betragtning af den enorme fleksibilitet. Og dette spørgsmål, langt fra at være bare en akademisk, havde en enorm praktisk betydning - til ingen andre end James Watt. Som du måske husker, var han engageret i en indsats for at bygge dampmotorer. Og en nøglekomponent i enhver dampmotor er et stempel. Og for at høste energien fra dampens udvidelse, skal stempelhovedet forsegles meget tæt for at tvinge dampen til at bevæge hovedet i stedet for at undslippe. Og for at holde stempelhovedet så tæt som muligt, hvordan skal stempelstangen bevæge sig? Netop i en ret linje langs stempelets akse. På den anden side ønskede man at tage den frem og tilbage bevægelse og dreje en aksel med den. Så der var et grundlæggende praktisk behov for at konvertere lineær bevægelse til roterende bevægelse. Her er ideen om, at Watt kom op, som han beskrev som "en af ​​de mest geniale simple mekanikstykker jeg har opfundet." - og måske fortjent så, siden før Watt, kunne konvertering fra lineær til roterende bevægelse kun ske med en kæde. Da en kæde kun kan trækkes, ikke skubbet, betød denne begrænsning, at en retning af hvert slag spildte sin kraft.

Watt's Linkage Ingredients: En 34-bar uden andre huller (A), to 24-bar (B og D) og en 34-bar med et hul på 17; fire linkere og en pen.

Kørselsvejledning: Link A til B til C0; link C34 til D og krydse C over D, som du linker D tilbage til A. Sæt en pen i C17.

At bruge: Anker A, og drej B og / eller D for at tegne en figur-otte ser kurve med pennen. Sørg for at vende hver led på en sådan måde, at hovedet A og C går i retning mod krydsning over hinanden, hver gang du når et dødpunkt.

Her er linket bygget og delvist gennem tegning:

Og her er den færdige kurve:

Faktisk var denne yndefulde kurve allerede blevet opdaget af matematikeren Jacob Bernoulli næsten hundrede år tidligere, som kaldte det "lemniscate". Han så det som en slags variation på en ellipse, hvor produktet af afstande af et punkt fra to faste punkter forbliver konstant, snarere end deres sum. På grund af denne produktegenskab beskrives denne sti til en fire-bar-kobling ved et fjerdegrads polynom, meget enklere end den sædvanlige sjette grad. Interessant nok førte undersøgelsen af ​​Bernoulli's lemniscate til Euler senere til udviklinger af afgørende betydning for vigtige områder af moderne matematik.

Men hvad har denne elegante kurve at gøre med Watts problem? Nøglen ligger i et slag af kurven lige i nærheden af ​​midten, hvor den krydser den faste stang. Lemniscate er meget næsten lige gennem det afsnit. Watt justerede forholdet mellem længde og bredde af denne kobling for at øge længden af ​​den sektion, således at hele frem og tilbage bevægelse af stemplet ville ligge inden for den næsten lige region og modificerede den for at få den pågældende region ud af vejen for den faste bar og kunne således skabe den første dampmotor, der leverede strøm på både dens opstød og dens nedslag.

Men også på grund af produktegenskaben er ingen sektion af lemniscate lige lige lige, lige meget tæt. Er der en fire-bar kobling, der producerer netop lige bevægelse? Eller nogen sammenkobling overhovedet? Dette blev til et betydeligt matematisk mysterium, der varede i mange år, hvilket vi vil undersøge i de kommende rater. I mellemtiden kan du prøve din hånd: Kan du lave en forbindelse fra MoMath Linkage Kit, der trækker en perfekt lige linje? (Kun hvis du vil fratage dig glæden ved udforskning, skal du søge på internettet for at finde ud af om det er muligt ...)

Mere:

  • Linkages, Introduktion
  • Linkages, Del 2: Four Bars, One Freedom
  • Forbindelser, Del 3: Fire barer, To eller tre positioner
  • Forbindelser, Del 4: Fire barer, Fire positioner
  • Forbindelser, Del 5: Fire barer, flere positioner?
  • Linkages, Del 6: Biomimicry
  • Linkages, Del 7: Verden "B.X."
  • Se alle vores Math Monday kolonner


Du Kan Være Interesseret

Upcycle vindueskærme til en hængende urtehave

Upcycle vindueskærme til en hængende urtehave


Denne Poké Ball vinkler, når Pokémon er i nærheden

Denne Poké Ball vinkler, når Pokémon er i nærheden


Maker Spotlight: Yoshiko Iwamoto Wada

Maker Spotlight: Yoshiko Iwamoto Wada


Sådan bruges din digitale kaliper: 7 Tips - Skill Builder

Sådan bruges din digitale kaliper: 7 Tips - Skill Builder